Zbiór i należenie do zbioru są pojęciami pierwotnymi, których nie definiuje się. Oznaczenie symboliczne "element a należy do zbioru A" lub "a jest elementem zbioru A":; element a nie należy do zbioru A":.
Zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez wszystkie swoje
elementy.
Gdy
są wszystkimi elementami zbioru A, to piszemy
Gdy wszystkie elementy zbioru A są elementami pewnego zbioru B i spełniają warunek w oraz każdy element zbioru B, który spełnia ten warunek należy do zbioru A, to piszemy
Zbiór A jest równy zbiorowi B,
gdy A i B mają te same elementy, czyli
wtedy
i tylko wtedy gdy: jeżeli
to
i na odwrót.
Zbiorem pustym nazywamy zbiór, do
którego nie należy żaden element.
Zbiór pusty oznaczamy symbolem
Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B, gdy każdy element zbioru A należy do zbioru B. Zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B, gdy A zawiera się w B i wtedy piszemy
Zbiór nazywamy skończonym, gdy jest
zbiorem pustym lub gdy możemy jego elementy ponumerować kolejnymi liczbami
naturalnymi od 1 do pewnej liczby naturalnej n.
Zbiór nazywamy nieskończonym, gdy
dla każdej liczby naturalnej n możemy wskazać w nim więcej niż n
elementów.
Iloczynem zbiorów A i B (częścią wspólną zbiorów A i B) nazywamy zbiór, do którego należą wszystkie te elementy zbioru A, które należą do zbioru B i do którego nie należy żaden inny element. Iloczyn zbiorów oznaczamy symbolem. Zatem:
wtedy i tylko wtedy, gdy i
Mówimy, że zbiory A i B są rozłączne gdy
Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór, do którego należą wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B i nie należy żaden inny element. Sumę zbiorów oznaczamy symbolem
Zatem: wtedy i tylko wtedy, gdy lub
Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór, do którego należą wszystkie te elementy zbioru A, które nie należą do zbioru B i do którego nie należy żaden inny element. Różnicę zbiorów oznaczamy symbolem
Zatem:
wtedy i tylko wtedy, gdy
i
Osią liczbową nazywamy dowolną prostą, na której wybrano dwa różne punkty i przypisano im liczby 0 i 1. Każdemu punktowi osi liczbowej odpowiada pewna liczba rzeczywista, a zbiór wszystkich liczb rzeczywistych możemy utożsamić ze zbiorem wszystkich punktów osi liczbowej.
Niech L będzie dowolnym zbiorem liczb rzeczywistych. Mówimy, że liczba a ogranicza z góry ten zbiór (albo jest jego ograniczeniem górnym), gdy
dla każdej liczby l ze zbioru L.
Mówimy, że liczba b ogranicza z dołu zbiór L (albo jest jego ograniczeniem dolnym), gdy
dla każdej liczby l ze zbioru L.
Definicja. Zbiór, który ma ograniczenie górne,
nazywamy zbiorem ograniczonym z góry.
Zbiór, który ma ograniczenie dolne, nazywamy zbiorem ograniczonym z dołu.
Zbiór, który jest ograniczony z góry i ograniczony z dołu,
nazywamy zbiorem ograniczonym.
Zbiór, który nie ma ograniczenia górnego, nazywamy nieograniczonym z góry.
Zbiór, który nie ma ograniczenia dolnego, nazywamy nieograniczonym z dołu.
Zbiór, który nie ma ani ograniczenia górnego, ani dolnego,
nazywamy nieograniczonym.
Liczbę a nazywamy kresem górnym
niepustego zbioru liczbowego A, jeśli a jest ograniczeniem
górnym zbioru A i każde ograniczenie górne tego zbioru jest większe lub
równe a.
Kres górny zbioru jest najmniejszym ograniczeniem górnym
tego zbioru.
Liczbę b nazywamy kresem dolnym
niepustego zbioru liczbowego A, jeśli b jest ograniczeniem
dolnym zbioru A i każde ograniczenie dolne tego zbioru jest mniejsze lub
równe b.
Kres dolny zbioru jest największym ograniczeniem dolnym tego
zbioru.
Niech A będzie dowolnym zbiorem liczbowym. Niepusty
podzbiór P zbioru A nazywamy przedziałem
w zbiorze A, jeśli ma następującą własność:
jeśli a i b należą do P, a c jest
elementem zbioru A i a < c < b, to c
również należy do P.
Przedział P w zbiorze A nazywamy domkniętym, gdy jest w nim liczba najmniejsza i
liczba największa.
Jeżeli najmniejszą liczbą w przedziale domkniętym P w zbiorze A jest a, a liczbą największą w tym przedziale jest b, to przedział P oznaczamy
Przedział P w zbiorze A nazywamy otwartym, gdy nie ma w nim ani liczby najmniejszej, ani liczby największej.
Jeżeli kresem dolnym przedziału otwartego P jest a, a kresem górnym tego przedziału jest b to przedział P oznaczamy
Przedział P w zbiorze A nazywamy przedziałem jednostronnie domkniętym (lub jednostronnie otwartym) w A, gdy istnieje w nim liczba najmniejsza, ale nie istnieje liczba największa, lub odwrotnie: istnieje liczba największa, ale nie istnieje liczba najmniejsza.
Przedział jednostronnie domknięty, w którym istnieje
najmniejsza liczba a, a b jest jego kresem górnym nie należącym
do przedziału oznaczamy symbolem [a, b) i nazywamy przedziałem lewostronnie domkniętym. Podobnie, przedział, w którym
istnieje największa liczba b, a jego kresem dolnym jest liczba a,
nie należąca do przedziału oznaczamy symbolem (a, b] i nazywamy
przedziałem prawostronnie domkniętym.
Otwarty przedział P, który jest zbiorem nieograniczonym oznaczamy
Przedział otwarty, nieograniczony z dołu, którego kresem górnym jest a, oznaczamy
Przedział otwarty, nieograniczony z góry, którego kresem dolnym jest a, oznaczamy
Przedział jednostronnie domknięty, który jest nieograniczony z dołu, w którym jest liczba największa a, oznaczamy
Przedział jednostronnie domknięty nieograniczony z góry, w którym jest liczba najmniejsza a, oznaczamy
Zbiór liczb naturalnych N jest najmniejszym zbiorem, spełniającym następujące warunki
jeśli
to
Zasada indukcji matematycznej. Jeśli
1. liczba 1 ma pewną własność,
2. dla każdej liczby naturalnej n, z tego, że n ma tę własność wynika, że ma ją także liczba
to każda liczba naturalna ma tę własność.
Punkt 1. w zasadzie indukcji nosi nazwę pierwszego
kroku indukcyjnego,
punkt 2. drugiego kroku indukcyjnego.
W drugim kroku indukcyjnym mamy założenie indukcyjne (to,
co zakładamy o liczbie n) oraz tezę indukcyjną
(to, co wynika dla liczby n+1).
Zasada minimum. W każdym niepustym zbiorze liczb
naturalnych istnieje liczba najmniejsza.
Zasada Archimedesa. Dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje liczba naturalna n, taka że
Suma i iloczyn dwóch liczb naturalnych jest liczbą naturalną, jeśli
to
Jeśli n i k są liczbami naturalnymi oraz
to liczba
jest liczbą naturalną.
to dla każdej liczby naturalnej n
Liczbami całkowitymi
nazywamy wszystkie liczby naturalne, zero oraz wszystkie liczby przeciwne do
naturalnych. Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy literą C.
Zbiór liczb całkowitych jest najmniejszym podzbiorem zbioru
wszystkich liczb rzeczywistych, spełniający następujące warunki:
jeśli
to
W zbiorze C nie ma ani liczby największej, ani liczby
najmniejszej; zbiór liczb całkowitych nie jest
·
ograniczony ani z góry, ani
·
ograniczony z dołu.
Ograniczona zasada minimum: jeśli niepusty zbiór A
zawarty w C jest
·
ograniczony z dołu, to jest w nim liczba
najmniejsza.
Ograniczona zasada maksimum: jeśli niepusty zbiór A,
zawarty w C, jest
·
ograniczony z góry, to jest w nim liczba
największa.
Częścią całkowitą
liczby rzeczywistej x nazywamy największą liczbę całkowitą, która nie
jest większa od x. Oznaczamy ją symbolem [x]).
Suma, różnica i iloczyn dwóch liczb całkowitych są liczbami całkowitymi (jeśli
to
O dzieleniu z resztą. Niech c będzie dowolną liczbą całkowitą, n - dowolną liczbą naturalną. Wówczas istnieją liczby całkowite q i r takie, że
i
Liczby q i r są wyznaczone jednoznacznie.
Niech c będzie dowolną liczbą całkowitą, d dowolną liczbą całkowitą różną od 0. Wówczas istnieją liczby całkowite q i r takie, że
i
Liczbę q nazywamy ilorazem z dzielenia liczby c przez liczbę n, liczbę r nazywamy resztą. Gdy
to mówimy: q jest dzielnikiem c albo q dzieli c.
Niezerowa liczba całkowita d dzieli liczbę całkowitą c wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba całkowita q, taka, że
Mówimy też wtedy, że d jest dzielnikiem liczby c.
Niech a i b będą dwiema liczbami całkowitymi.
Mówimy, że d jest wspólnym dzielnikiem
a i b, jeśli d dzieli a oraz d dzieli b.
Algorytm Euklidesa (obliczanie największego wspólnego
dzielnika liczb całkowitych a i b)
jeżeli
to
koniec; w przeciwnym przypadku jeżeli
to zamiast a rozpatrujemy dalej
to zamiast b rozpatrujemy dalej
powrót do punktu 1.
Nierówność Bernouliego: jeśli
, to dla każdej liczby naturalnej n Liczbę x nazywamy liczbą wymierną, gdy
dla pewnych liczb całkowitych a i b, gdzie
Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą W.
Każda liczba całkowita i każda liczba naturalna jest liczbą
wymierną.
. Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci
ułamka nieskracalnego.
Zbiór liczb wymiernych jest nieskończony i nieograniczony.
Jeśli a i b są liczbami wymiernymi i
, to istnieje liczba wymierna c taka, że
Jeśli a i b są liczbami rzeczywistymi i
to istnieje liczba wymierna c taka, że
Mówimy, że zbiór liczbowy A jest gęsty w zbiorze liczbowym B, jeżeli dla każdych dwóch elementów zbioru B a i b takich, że istnieje element c w zbiorze A taki, że .
Zbiór liczb wymiernych jest gęsty w zbiorze wszystkich liczb
rzeczywistych.
Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej jest albo skończone,
albo nieskończone okresowe.
Liczby o skończonych rozwinięciach dziesiętnych nazywamy liczbami dziesiętnymi.
Jeśli liczba ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub
nieskończone okresowe, to jest liczbą wymierną.
Suma, różnica, iloczyn i iloraz dwóch liczb wymiernych jest
liczbą wymierną.
Liczby rzeczywiste, które nie są wymierne, nazywamy liczbami niewymiernymi.
Jeśli liczba rzeczywista ma rozwinięcie dziesiętne
nieskończone i nieokresowe, to jest liczbą niewymierną.
Jeśli x jest liczbą niewymierną, to x ma
rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe.
Każdy ograniczony z góry zbiór liczb rzeczywistych ma kres
górny w R.
Każdy ograniczony z dołu zbiór liczb rzeczywistych ma kres
dolny w R.
Procentem nazywamy setną część całości:
całości.
Modułem liczby rzeczywistej a lub wartością bezwzględną liczby a nazywamy liczbę
taką, że
Błędem bezwzględnym nazywamy moduł różnicy między wartością w i jej przybliżeniem
:
Błędem względnym ( błędem procentowym) nazywamy stosunek popełnionego błędu bezwzględnego do całości, wyrażony w procentach:
Mówimy, że zbiór A jest
zamknięty względem pewnego działania, jeżeli wynik tego działania
wykonanego na elementach zbioru A jest elementem należącym do A.
Jeżeli
- wpłata początkowa, p - oprocentowanie, n - czas oprocentowania w latach, m - liczba okresów naliczeń oprocentowania w roku, to mamy:
Wzór na procent składany:
wzór na procent prosty
Liczba
Złoty podział odcinka to podział odcinka na dwa w ten
sposób, aby zachowana była proporcja: większa część tak się ma do mniejszej,
jak całość do większej części.
Liczba złota - proporcja złotego podziału jest równa
.
Ciąg Fibbonacciego: ciąg zdefiniowany rekurencyjnie:
i
dla